Pour aller plus loin (Ancien programme) - Spécialité
Les intégrales et les primitives
Exercice 1 : Intégration d'une fonction polynomiale avec une borne variable
Déterminer la valeur de l'intégrale \( I \) suivante :
\[ I = \int_{2}^{t} \dfrac{x^{4} + x^{2} -1}{x^{2}}\, dx \]
Exercice 2 : Reconnaître -u'/u²
Soit
\[
f(x)=\dfrac{4x + 5}{\left(2x^{2} + 5x + 7\right)^{2}}
\]
Calculer l'intégrale suivante.
\[
\int_{5}^{8} \operatorname{f}{\left (x \right )}\, dx
\]
Exercice 3 : k.u'.u^n ( avec u = ax + b)
Sachant que \(n\) est un entier positif, trouver une primitive de \(f\).
\[
f: x \mapsto 8\left(6 + 2x\right)^{n}
\]
On donnera directement l'expression algébrique de \(F(x)\)
Exercice 4 : Aire entre 2 courbes (intégrale positive)
Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions définies par : \[ f: x \mapsto x^{2} + 3x -3 \] \[ g: x \mapsto 3x^{2} + x -4 \] Soit \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\) leurs représentations graphiques respectives.
Déterminer l'aire entre \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\) et les droites d'équations \(x = 0\) et
\(x = 1\).
Exercice 5 : Trouver une primitive de k.u'/u^2 (avec u = ax + b)
Soit \( f \) la fonction définie sur \( \mathbb{R} \backslash \{\dfrac{3}{8}\} \) par :
\[ f: x \mapsto \dfrac{-16}{\left(-8x + 3\right)^{2}} \]
Trouver une primitive \( F \) de \( f \).
On donnera directement l'expression algébrique de \( F(x) \).
Trouver une primitive \( F \) de \( f \).
On donnera directement l'expression algébrique de \( F(x) \).